Question

6．求函數(shù)y=（log₂$\frac{x}{3}$）（log₂$\frac{x}{4}$）在區(qū)間[2$\sqrt{2}$，8]上的最值．

Answer 1

分析 進行對數(shù)的運算，并換成以2為底的對數(shù)，從而可得到y(tǒng)=（log₂$\frac{x}{3}$）（log₂$\frac{x}{4}$），由x的范圍，可以得出log₂x的范圍，從而可得出f（x）的最大、最小值，即得出f（x）的值域．

解答 解：y=（log₂$\frac{x}{3}$）（log₂$\frac{x}{4}$）=（log₂x-log₂3）（log₂x-2），令log₂x=t；
y=t²-（log₂3+2）t+2log₂3，
∵x∈[2$\sqrt{2}$，8]；
∴t=log₂x∈[$\frac{3}{2}$，3]；
y=t²-（log₂3+2）t+2log₂3，函數(shù)的對稱軸為：t=$\frac{1}{2}$log₂3+1∈[$\frac{3}{2}$，3]；
t=$\frac{1}{2}$log₂3+1時函數(shù)取得最小值：（$\frac{1}{2}$log₂3+1-log₂3）（$\frac{1}{2}$log₂3+1-2）=-$lo{{g}^{2}}_{2}\sqrt{3}$，
∴l(xiāng)og₂x=log₂3時，f（x）取最大值：0．
∴函數(shù)f（x）的最大值為0．最小值為：-$lo{{g}^{2}}_{2}\sqrt{3}$．

點評 考查對數(shù)的運算，對數(shù)的換底公式，以及配方處理二次式子的方法，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的最值．