Question

已知函數(shù)ft(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(t-x)，其中t為常數(shù)，且t＞0．
（Ⅰ）求函數(shù)f_t（x）在（0，+∞）上的最大值；
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n項(xiàng)和S_n滿足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3），且設(shè)bn=1-

1

an

，證明：對(duì)任意的x＞0，bn≥f

1

2n

(x)，n=1，2，…．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由ft(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(t-x)，知ft′(x)=-

1

(1+x)2

-

-(1+x)2-(t-x)•2(1+x)

(1+x)4

=

2(t-x)

(1+x)3

．由此能求出函數(shù)f_t（x）在（0，+∞）上的最大值． 
（Ⅱ）由S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3），知a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3），故a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂=2ⁿ+1．所以bn=1-

1

an

=

2n

2n+1

＞0，由此能夠證明對(duì)任意的x＞0，不等式bn≥f

1

2n

(x) (n=1，2，…)成立．

解答：（Ⅰ）解：∵ft(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(t-x)，
∴ft′(x)=-

1

(1+x)2

-

-(1+x)2-(t-x)•2(1+x)

(1+x)4

=

2(t-x)

(1+x)3

…（3分）
∵x＞0，
∴當(dāng)x＜t時(shí)，f'_t（x）＞0；
當(dāng)x＞t時(shí)，f'_t（x）＜0，
∴當(dāng)x=t時(shí)，f_t（x）取得最大值ft(t)=

1

1+t

． …（6分）
（Ⅱ）證明：由題意知S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3），
∴a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3）…（5分）
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂
=2^n-1+2^n-2+…+2²+5
=2^n-1+2^n-2+…+2²+2+1+2
=2ⁿ+1（n≥3）…（8分）
檢驗(yàn)知n=1、2時(shí)，結(jié)論也成立，
故a_n=2ⁿ+1．…（9分）
所以bn=1-

1

an

=

2n

2n+1

＞0，
令t=

1

2n

＞0，
則f

1

2n

(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

1

2n

-x)，
由（Ⅰ）可知，f

1

2n

(x)≤f

1

2n

(

1

2n

)=

1

1+ 1 2n

=

2n

2n+1

=bn．
∴對(duì)任意的x＞0，不等式bn≥f

1

2n

(x) (n=1，2，…)成立．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和累加求和法的合理運(yùn)用．易錯(cuò)點(diǎn)是運(yùn)算量大，容易失誤，解題時(shí)要注意計(jì)算能力的培養(yǎng)．