Question

已知函數(shù)f(x)=sin(x+

π

2

)，g(x)=cos(x-

π

2

)，設(shè)h（x）=f（x）g（x），則下列說法不正確的是（　　）

• A、?x∈R，f(x+

  π

  2

  )=g(x)
• B、?x∈R，f(x-

  π

  2

  )=g(x)
• C、?x∈R，h（-x）=h（x）
• D、?x∈R，h（x+π）=h（x）

Answer 1

分析：利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)f（x），g（x），h（x）是解決本題的關(guān)鍵．再根據(jù)特稱命題、全稱命題的正誤判斷法判斷各選項(xiàng)的正確與否．

解答：解：對(duì)于A，f(x+

π

2

)=-sinx，g(x)=sinx，若f(x+

π

2

)=g(x)，只需sinx=0，即x=kπ，k∈Z，故?x∈R，f(x+

π

2

)=g(x)，即A正確；
對(duì)于B，f(x-

π

2

)=sinx=g(x)，即?x∈R，f(x-

π

2

)=g(x)，故B正確；
對(duì)于C，D，可以先將h（x）進(jìn)行轉(zhuǎn)化化簡(jiǎn)，得到h（x）=f（x）g（x）=cosxsinx=

1

2

sin2x，由于該函數(shù)為奇函數(shù)，故C不正確，
該函數(shù)的最小正周期為π，故D正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、二倍角公式的運(yùn)用，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力，考查學(xué)生解決問題的等價(jià)變形意識(shí)，學(xué)生需要弄清?和?這兩個(gè)量詞的本質(zhì)和含義，屬于三角和邏輯用語(yǔ)結(jié)合的小綜合題．