Question

已知曲線C是動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0）、A（3，0）距離之比為

1

2

的點(diǎn)的軌跡．
（1）求曲線C的方程；
（2）求過點(diǎn)N（1，3）與曲線C相切的直線方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)點(diǎn)M（x，y），利用兩點(diǎn)之間的距離公式，將|OM|、|AM|表示成關(guān)于x、y的式子，利用它們的距離之比為

1

2

建立等式，化簡整理即可得到曲線C的方程；
（2）由（1）得曲線C是以（-1，0）為圓心，半徑r=2的圓．然后按直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式加以計(jì)算，即可得到兩條切線的方程．

解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)M（x，y），則
|OM|=

x2+y2

，|AM|=

(x-3)2+y2

∵

|OM|

|AM|

=

1

2

，∴|AM|=2|OM|即

(x-3)2+y2

=2

x2+y2

…4分
兩邊平方整理，得：x²+y²+2x-3=0，即為所求曲線C的方程．…6分
（2）由（1）得x²+y²+2x-3=0，整理得（x+1）²+y²=4
∴曲線C是以（-1，0）為圓心，半徑r=2的圓．
i）當(dāng)過點(diǎn)N（1，3）的直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為x=1，顯然與圓相切；…8分
ii） 當(dāng)過點(diǎn)N（1，3）的直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y-3=k（x-1）
即kx-y+3-k=0                               …9分
∵直線與圓相切．得圓心到該直線的距離等于半徑，
∴

|-k+0+3-k|

k2+1

=2，解之得k=

5

12

，…11分
可得直線方程為5x-12y+31=0                 …12分
所以過點(diǎn)N（1，3）與曲線C相切的直線方程為x=1或5x-12y+31=0．…13分

點(diǎn)評：本題給出滿足條件的動(dòng)點(diǎn)，求軌跡方程并求與曲線相切的直線方程，著重考查了直線與圓的位置關(guān)系和軌跡方程的求法等知識(shí)，屬于中檔題．