已知曲線C是動點M到兩個定點O(0,0)、A(3,0)距離之比為
12
的點的軌跡.
(1)求曲線C的方程;
(2)求過點N(1,3)與曲線C相切的直線方程.
分析:(1)設(shè)點M(x,y),利用兩點之間的距離公式,將|OM|、|AM|表示成關(guān)于x、y的式子,利用它們的距離之比為
1
2
建立等式,化簡整理即可得到曲線C的方程;
(2)由(1)得曲線C是以(-1,0)為圓心,半徑r=2的圓.然后按直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論,結(jié)合點到直線的距離公式加以計算,即可得到兩條切線的方程.
解答:解:(1)設(shè)點M(x,y),則
|OM|=
x2+y2
,|AM|=
(x-3)2+y2

|OM|
|AM|
=
1
2
,∴|AM|=2|OM|即
(x-3)2+y2
=2
x2+y2
…4分
兩邊平方整理,得:x2+y2+2x-3=0,即為所求曲線C的方程.…6分
(2)由(1)得x2+y2+2x-3=0,整理得(x+1)2+y2=4
∴曲線C是以(-1,0)為圓心,半徑r=2的圓.
i)當(dāng)過點N(1,3)的直線的斜率不存在時,直線方程為x=1,顯然與圓相切;…8分
ii) 當(dāng)過點N(1,3)的直線的斜率存在時,設(shè)方程為y-3=k(x-1)
即kx-y+3-k=0                               …9分
∵直線與圓相切.得圓心到該直線的距離等于半徑,
|-k+0+3-k|
k2+1
=2
,解之得k=
5
12
,…11分
可得直線方程為5x-12y+31=0                 …12分
所以過點N(1,3)與曲線C相切的直線方程為x=1或5x-12y+31=0.…13分
點評:本題給出滿足條件的動點,求軌跡方程并求與曲線相切的直線方程,著重考查了直線與圓的位置關(guān)系和軌跡方程的求法等知識,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(浙江卷)、數(shù)學(xué)(理科)試卷含詳細(xì)解答 題型:044

已知曲線C是到點P和到直線y=-距離相等的點的軌跡.l是過點Q(-1,0)的直線,M是C上(不在l上)的動點;A,B在l上,MA⊥l,MB⊥x軸(如圖).

(Ⅰ)求曲線C的方程;

(Ⅱ)求出直線l的方程,使得為常數(shù).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:浙江省高考真題 題型:解答題

已知曲線C是到點P和到直線y=距離相等的點的軌跡,l是過點Q(-1,0)的直線,M是C上(不在l上)的動點;A、B在l上,MA⊥l,MB⊥x軸(如圖),
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)求出直線l的方程,使得為常數(shù)。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知曲線C是動點M到兩個定點O(0,0)、A(3,0)距離之比為
1
2
的點的軌跡.
(1)求曲線C的方程;
(2)求過點N(1,3)與曲線C相切的直線方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年北京市十一學(xué)校高三(上)12月月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知曲線C是動點M到兩個定點O(0,0)、A(3,0)距離之比為的點的軌跡.
(1)求曲線C的方程;
(2)求過點N(1,3)與曲線C相切的直線方程.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案