Question

如圖，矩形AMND所在的平面與直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MB∥NC，MN⊥MB，且MC⊥CB，BC=2，MB=4，DN=3．
（Ⅰ）求證：AB∥平面DNC；
（Ⅱ）求二面角D-BC-N的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由線面平行判定定理，可分別證出MB∥平面DNC且MA∥平面DNC，結合面面平行判定定理，得到平面AMB∥平面DNC，結合AB?平面AMB可得AB∥平面DNC；
（II）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，證出DN⊥平面MBCN，從而得到NM、NC、ND兩兩互相垂直，因此以點N為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖．分別得到B、C、D的坐標，從而得到向量、的坐標，利用垂直向量數(shù)量積為零建立方程組，解出平面DBC的法向量=（-1，，），結合=（0，0，1）是平面NBC的一個法向量，運用空間向量的夾角公式算出、夾角的余弦值為，即得二面角D-BC-N的余弦值．
解答：解：（I）∵MB∥NC，MB?平面DNC，NC?平面DNC，∴MB∥平面DNC．
∵四邊形AMND為矩形，∴MA∥DN．
又∵MA?平面DNC，DN?平面DNC，∴MA∥平面DNC．
∵MA、MB是平面AMB內(nèi)的相交直線，
∴平面AMB∥平面DNC．
又∵AB?平面AMB，∴AB∥平面DNC．    …（5分）
（Ⅱ）∵平面AMND⊥平面MBCN，且平面AMND⊥平面MBCN=MN，DN⊥MN，
∴DN⊥平面MBCN，
而MN⊥NC，故以點N為坐標原點，NM、NC、ND分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系如圖．
由已知得MC=，∠MCN=30°，易得MN=，NC=3．
則D（0，0，3），C（0，3，0），B（，4，0）．
∴=（0，3，-3），=（，1，0）．
設平面DBC的法向量=（x，y，z），則
，即
令x=-1，則y=z=，可得=（-1，，）．
又∵=（0，0，1）是平面NBC的一個法向量，
∴cos＜，＞==．
故所求二面角D-BC-N的余弦值為．…（12分）
點評：本題給出特殊的多面體，求證線面平行并求二面角D-BC-N的余弦值．著重考查了空間平行位置關系的證明和利用向量求面面所成角的方法等知識，屬于中檔題．