Question

(本小題滿分12分)
已知數(shù)列中，，且點(diǎn)在直線上.數(shù)列中，，，
(Ⅰ) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 
（Ⅲ）（理）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

Answer 1

(Ⅰ) （n∈）；（Ⅱ）；（Ⅲ）（n∈）

本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的計算和前n項(xiàng)和公式的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，容易出錯．解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的靈活運(yùn)用．
（Ⅰ）由a_n+1=2a_n+3得a_n+1+3=2（a_n+3），由此能求出a_n．
（Ⅱ）因?yàn)椋╞_n+1，b_n）在直線y=x-1上，所以b_n=b_n+1-1即b_n+1-b_n=1，由此能求出b_n．
（Ⅲ）由c_n=a_n+3=2ⁿ⁺¹-3+3=2ⁿ⁺¹，知b_nc_n=n•2ⁿ⁺¹，所以S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，再由錯位相減法能求出S_n．
解：(Ⅰ)由得
所以是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列.
所以，故（n∈）
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823233211275598.png" style="vertical-align:middle;" />在直線上，
所以即又
故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
所以
（Ⅲ）== 故
所以
故
相減得
所以（n∈）