Question

已知函數f（x）是一次函數，且f（8）=15f（2），f（5）f（14）成等比數列，設a_n=f（n），（n∈N^*）
（1）求T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n．
（2）設b_n=2ⁿ，求數列{a_nb_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，可設f（x）=ax+b；利用f²（5）=f（2）•f（14）得到a與b的值，確定出f（x）即可得到a_n為等差數列，利用等差數列求和的方法得到T_n即可；
（2）求出a_nb_n的通項，表示出s_n，求出它的二倍即相反數，相加即可得到s_n的通項．
解答：解：（1）設f（x）=ax+b，（a≠0）由f（8）=15f（2），f（5），f（14）成等比數列得
8a+b=15，f²（5）=f（2）•f（14）得（5a+b）²=（2a+b）（14a+b）得到：3a²+6ab=0
∵a≠0∴a=-2b由①②得a=2，b=-1，∴f（x）=2x-1
∴a_n=2n-1，顯然數列{a_n}是首項a₁=1，公差d=2的等差數列
∴═．
（2）∵a_nb_n=（2n-1）•2ⁿ∴s_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ
2s_n=2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹
-s_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+2³•（2^n-1-1）-（2n-1）2ⁿ⁺¹
∴s_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6
點評：考查學生等比數列的性質掌握的能力，等差數列求和公式的運用能力，運用方法求數列和的能力．