已知數(shù)列{an},Sn是其前n項(xiàng)的和,且an=7Sn-1-1(n≥2),a1=2.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè),Tn=bn+1+bn+2+…+b2n,是否存在最小的正整數(shù)k,使得對(duì)于任意的正整數(shù)n,有恒成立?若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.
【答案】分析:(I)由題設(shè)條件知an+1-an=7(Sn-Sn-1)=7an(n≥2),所以an=2•8n-1=23n-2;(4分)
(II)由,知,由此入手能夠求出k的值.
解答:解:(I)由已知an=7Sn-1-1①an+1=7Sn-1②
②-①,得an+1-an=7(Sn-Sn-1)=7an(n≥2)(2分)
∴an+1=8an,又a1=2,所以數(shù)列{an}是一個(gè)以2為首項(xiàng),8為公比的等比數(shù)列
∴an=2•8n-1=23n-2;(4分)
(II),(5分)

,(7分)
=
∵n∈N*,∴n≥1,即-3n+1<0
∴Tn+1-Tn<0,Tn+1<Tn,即數(shù)列{Tn}是一個(gè)單調(diào)遞減數(shù)列,又
∴Tn,若恒成立,則,即k>3(13分)
又k是正整數(shù),故最小正整數(shù)k為4.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=
3
5
,an+1=
3an
2an+1
,n=1,2,…

(1)求證:數(shù)列{
1
an
-1}
為等比數(shù)列;
(2)記Sn=
1
a1
+
1
a2
+…
1
an
,若Sn<100,求最大的正整數(shù)n.
(3)是否存在互不相等的正整數(shù)m,s,n,使m,s,n成等差數(shù)列且am-1,as-1,an-1成等比數(shù)列,如果存在,請(qǐng)給出證明;如果不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}是以d為公差的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是以q為公比的等比數(shù)列.
(1)若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和為Sn,且a1=b1=d=2,S3<a1003+5b2,求整數(shù)q的值;
(2)在(1)的條件下,試問數(shù)列{bn}中是否存在一項(xiàng)bk,使得bk恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)p(p∈N,p≥2)項(xiàng)的和?請(qǐng)說明理由;
(3)若b1=a1,b2=as≠arb3=at,(其中t>s>r,且(s-r)是(t-r)的約數(shù)),求證:數(shù)列{bn}中每一項(xiàng)都是數(shù)列{an}中的項(xiàng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n•2n,為了求數(shù)列{an}的和,現(xiàn)已給出該問題的算法程序框圖.
(Ⅰ)請(qǐng)?jiān)趫D中執(zhí)行框①②處填上適當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式,使該算法完整;
(Ⅱ)求n=4時(shí),輸出S的值;
(Ⅲ)根據(jù)所給循環(huán)結(jié)構(gòu)形式的程序框圖,寫出程序語言.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆福建省高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知數(shù)列{an}滿足S n + a n= 2n +1.

(1)寫出a1,a2,a3, 并推測(cè)a n的表達(dá)式;

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(08年唐山市一中調(diào)研一理) 已知數(shù)列{an}滿足S n=,則=                                   (    )

A.1                      B.-1                       C.2                     D.-2

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