Question

已知雙曲線的兩個焦點為，點在雙曲線C上.

（Ⅰ）求雙曲線C的方程；

（Ⅱ）記O為坐標(biāo)原點，過點Q (0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，若△的面積為求直線的方程.

Answer 1

(Ⅰ)解法1：依題意，由a²+b²=4，得雙曲線方程為

將點代入上式，得.解得a²=18（舍去）或a²＝2，

故所求雙曲線方程為

解法2：依題意得，雙曲線的半焦距c=2.

，

∴

∴雙曲線C的方程為

(Ⅱ)解法1：依題意，可設(shè)直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，

得(1－k²)x²－4kx－6=0.

∵直線I與雙曲線C相交于不同的兩點E、F,

設(shè)E(x₁,y₁),F(x₂,y₂)，則由①式得，，于是

=

而原點O到直線的距離,

若，即,解得

滿足②.故滿足條件的直線有兩條，其方程分別為和

解法2：依題意，可設(shè)直線的方程為,代入雙曲線C的方程并整理，

得(1－k²)x²－4kx－6＝0.                                                         ①

∵直線與比曲線C相交于不同的兩點E、F，

                                           ②

設(shè)E(x₁,y₁),F(x₂,y₂)，則由①式得

.     ③

當(dāng)E、F在同一支上時（如圖1所示），

；

當(dāng)E、F在不同支上時（如圖2所示），

綜上得，于是

由及③式，得.

若，即,解得,滿足②.故滿足條件的直線有兩條，基方程分別為和