Question

已知數(shù)列{a_n}是一個(gè)等差數(shù)列，且a₂=5，a₅=11．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（Ⅱ）令b_n=

1

a 2 n -1

(n∈N*)，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）等差數(shù)列{a_n}中，由a₂=5，a₅=11，先求出a₁=3，d=2．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n．
（Ⅱ）由a_n=2n+1，知bn=

1

an2-1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由已知條件得

a1+d=5 a1+4d=11

，
解得a₁=3，d=2．…（4分）
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n+1．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n+1．
所以bn=

1

an2-1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4n(n+1)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

）．…（10分）
所以T_n=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

4

（1-

1

n+1

）=

n

4(n+1)

．
即數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=

n

4(n+1)

．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．