Question

如圖，現(xiàn)要在邊長為的正方形內(nèi)建一個交通“環(huán)島”.正方形的四個頂點為圓心在四個角分別建半徑為（不小于）的扇形花壇，以正方形的中心為圓心建一個半徑為的圓形草地.為了保證道路暢通，島口寬不小于，繞島行駛的路寬均不小于.

（1）求的取值范圍；（運算中取）

（2）若中間草地的造價為元，四個花壇的造價為元，其余區(qū)域的造價為元，當(dāng)取何值時，可使“環(huán)島”的整體造價最低？

 

Answer 1

【答案】

(1) ,(2) .

【解析】

試題分析：（1）解決應(yīng)用題問題首先要解決閱讀問題，具體說就是要會用數(shù)學(xué)式子正確表示數(shù)量關(guān)系，本題根據(jù)半徑、島口寬、路寬限制條件列方程組，即可得的取值范圍；其難點在路寬最小值的確定，觀察圖形易知路寬最小值應(yīng)在正方形對角線連線上取得，（2）本題解題思路清晰，就是根據(jù)草地、花壇、其余區(qū)域的造價列函數(shù)關(guān)系式，再由導(dǎo)數(shù)求最值.難點在所列函數(shù)解析式是四次，其導(dǎo)數(shù)為三次，在判定區(qū)間導(dǎo)數(shù)符號時需細(xì)心確定，要解決這一難點，需充分利用因式分解簡化式子結(jié)構(gòu).

試題解析：（1）由題意得， 4分

解得即. 7分

（2）記“環(huán)島”的整體造價為元，則由題意得

， 10分

令，則，

由，解得或， 12分

列表如下：

	9	(9,10)	10	(10,15)	15
		－	0	＋	0
		↘	極小值	↗

所以當(dāng)，取最小值.

答：當(dāng)時，可使“環(huán)島”的整體造價最低. 14分

考點：利用導(dǎo)數(shù)求最值，解不等式.