Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）求時，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個零點，求正整數(shù)的最小值

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）3.

【解析】

（1）當(dāng)時，對進行求導(dǎo)得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）先求導(dǎo)得，分兩種情況當(dāng)和當(dāng)時，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，討論的單調(diào)性，如果函數(shù)有兩個零點，得出，且，即：，構(gòu)造函數(shù)，求得在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，且，，存在進而得出答案.

解：（1）當(dāng)時，得，則的定義域為，

，

當(dāng)時，即，解得：或（舍去），

令，解得：，則時，單調(diào)遞增；

令，解得：，則時，單調(diào)遞減，

綜上得：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）由題可知，，則的定義域為，

，

當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；

當(dāng)時，由，得；由，得，

所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為，

如果函數(shù)有兩個零點，則，且，

即，即：，

令，則，

可知在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，且，

，

所以存在，，

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

所以，滿足條件的最小正整數(shù).