Question

已知{a_n}是等比數(shù)列，a2=2，a5=

1

4

，則a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1（n∈N₊）的值范圍是

[8，

32

3

）

．

Answer 1

分析：由已知可判數(shù)列{a_na_n+1}是以8為首項(xiàng)，

1

4

為公比的等比數(shù)列，求和之后由不等式的性質(zhì)可得其范圍．

解答：解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則

1

4

=2•q³，
解得q=

1

2

，∴a₁=4，a_n=4•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-3，
∴a_na_n+1=(

1

2

)n-3•(

1

2

)n-2=(

1

2

)2n-5，
∴a₁a₂=8，

anan+1

an-1an

=

1

4

∴數(shù)列{a_na_n+1}是以8為首項(xiàng)，

1

4

為公比的等比數(shù)列，
由等比數(shù)列的求和公式可得a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=

8(1- 1 4n )

1- 1 4

=

32

3

(1-

1

4n

)，
∵0＜

1

4n

≤

1

4

，∴

3

4

≤1-

1

4n

＜1，∴8≤

32

3

(1-

1

4n

)＜

32

3

，
故所求式子的范圍為：[8，

32

3

）
故答案為：[8，

32

3

）

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，涉及等比數(shù)列的判定，屬中檔題．