Question

如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，將△AED、△DCF分別沿DE、DF折起，使A、C兩點重合于點A′，連接EF，A′B．

（1）求證：A′D⊥EF；
（2）求二面角A′-EF-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平面圖形折疊后的不變量可得A'D⊥A'E，A'D⊥A'F，然后利用線面垂直的判定得到線面垂直，從而得到線線垂直；
（2）由題意可得BE=BF，DE=DF，連結(jié)BD交EF于點G，連接A'G，則可證明∠A'GD為二面角A'-EF-D的平面角，然后利用解直角三角形即可得到答案．

解答：（1）證明：在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF
則A'D⊥A'E，A'D⊥A'F
又A'E∩A'F=A'
∴A'D⊥平面A'EF
而EF?平面A'EF，∴A'D⊥EF
（2）方法一：連接BD交EF于點G，連接A'G
∵在正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，
∴BE=BF，DE=DF，
∴點G為EF的中點，
且BD⊥EF
∵正方形ABCD的邊長為2，∴A'E=A'F=1，∴A'G⊥EF
∴∠A'GD為二面角A'-EF-D的平面角
由（1）可得A'D⊥A'G，
∴△A'DG為直角三角形
∵正方形ABCD的邊長為2，
∴BD=2

2

，EF=

2

，
∴BG=

2

2

，DG=2

2

-

2

2

=

3 2

2

，
又A'D=2
∴A′G=

DG2-A′D2

=

9 2 -4

=

2

2

∴cos∠A′GD=

A′G

DG

=

2 2

3 2 2

=

1

3

∴二面角A'-EF-D的余弦值為

1

3

方法二：∵正方形ABCD的邊長為2，點E是AB的中點，點F是BC的中點，
∴BE=BF=A'E=A'F=1，
∴EF=

2

∴A'E²+A'F²=EF²，∴A'E⊥A'F
由（1）得A'D⊥平面A'EF，
∴分別以A'E，A'F，A'D為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角
坐標系A(chǔ)'-xyz，
則A'（0，0，0），E（1，0，0），F(xiàn)（0，1，0），D（0，0，2）
∴

DE

=(1，0，-2)，

DF

=(0，1，-2)，
設(shè)平面DEF的一個法向量為

n1

=(x，y，z)，則由

n1 • DE =x-2z=0 n1 • DF =y-2z=0

，
可取

n1

=(2，2，1)
又平面A'EF的一個法向量可取

n2

=(0，0，1)
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

1

4+4+1 •1

=

1

3

∴二面角A'-EF-D的余弦值為

1

3

．

點評：本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了二面角的平面角及其求法，利用空間向量求解是新課標意圖的體現(xiàn)，關(guān)鍵是建立正確的空間右手系，此題是中檔題．