Question

已知F₁，F₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，P為雙曲線左支上一點，若

|PF2|2

|PF1|

的最小值為8a，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（　�。�

A、（1，3）

B、（1，2）

C、（1，3]

D、（1，2]

Answer 1

分析：設|PF₁|=m，則|PF₂|=2a+m，且|PF₁|≥c-a，表示出

|PF2|2

|PF1|

，利用

|PF2|2

|PF1|

的最小值為8a，結合基本不等式，即可確定雙曲線的離心率的取值范圍．

解答：解：設|PF₁|=m，則|PF₂|=2a+m，且|PF₁|≥c-a，
∴

|PF2|2

|PF1|

=

(2a+m)2

m

=

4a2

m

+m+4a（m≥c-a），
∵

|PF2|2

|PF1|

的最小值為8a，
∴c-a≤2a，
∴e≤3，
∵e＞1，
∴1＜e≤3．
故選C．

點評：本題考查雙曲線的定義，考查雙曲線的幾何性質，考查基本不等式的運用，正確運用雙曲線的定義是關鍵．