Question

3．已知a，b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且滿足（2b-a）•cosC=c•cosA．
（I）求角C的大��；
（II）求sinA+sinB的最大值，并判斷此時(shí)△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （I）由正弦定理以及和與差的公式化簡(jiǎn)即可得角C的大小；
（II）利用三角形內(nèi)角和定理和輔助角公式化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的有界性可得最大值．可得A和B的關(guān)系，即可判斷此時(shí)△ABC的形狀．

解答 解：（I）∵（2b-a）•cosC=c•cosA
由正弦定理，得：（2sinB-sinA）•cosC=sinA•cosA
即：2sinBcosC=sinA•cosC+sinA•cosC
2sinBcosC=sin（A+C）=sinB．（sinB＞0），
∴cosC=$\frac{1}{2}$．
∵0＜C＜π．
∴C=$\frac{π}{3}$．
（II）由（I）可知，C=$\frac{π}{3}$，
∴$B=\frac{2π}{3}-A$．
$\begin{array}{l}∴sinA+sinB=sinA+sin（\frac{2π}{3}-A）=\frac{3}{2}sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA\\=\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）\end{array}$
當(dāng)A=$\frac{π}{3}$時(shí)，sinA+sinB取得最大值．
∴A=B=C=$\frac{π}{3}$．
故得ABC為正三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理以及和與差的公式，輔助角公式的化簡(jiǎn)和運(yùn)用能力．屬于基礎(chǔ)題．