Question

5．定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x），當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，xf′（x）-f（x）＞0恒成立，a=f（1），b=$\frac{1}{2}f（2），c=\frac{{\sqrt{2}}}{2}f（{\sqrt{2}}）$，則a，b，c的大小關(guān)系為（　　）

• A． c＜a＜b
• B． b＜c＜a
• C． a＜c＜b
• D． c＜b＜a

Answer 1

分析 根據(jù)條件xf′（x）-f（x）＞0恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
則g'（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$[f（x）-xf′（x）]，
∵當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，xf′（x）-f（x）＞0恒成立，
∴g'（x）＜0，
即g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
∵a=f（1）=$\frac{f（1）}{1}$=g（1），b=$\frac{1}{2}$f（2）=$\frac{f（2）}{2}$=g（2），c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$f（$\sqrt{2}$）=$\frac{f（\sqrt{2}）}{\sqrt{2}}$=g（$\sqrt{2}$）
又1＜$\sqrt{2}$＜2，
∴g（1）＞g（$\sqrt{2}$）＞g（2），
即a＞c＞b，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值的大小比較，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$是解決本題的關(guān)鍵，要求熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系．