Question

在一次數(shù)學(xué)考試中，第21題和第22題為選做題．規(guī)定每位考生必須且只須在其中選做一題．設(shè)4名考生選做每一道題的概率均為

1

2

．
（1）求其中甲、乙兩名學(xué)生選做同一道題的概率；
（2）設(shè)這4名考生中選做第22題的學(xué)生個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）設(shè)事件A表示“甲選做第21題”，事件B表示“乙選做第21題”，進(jìn)而分析可得，甲、乙2名學(xué)生選做同一道題的事件為“AB+

.

A

.

B

”，且事件A、B相互獨(dú)立，由互斥事件的概率計(jì)算方法，可得答案；
（2）根據(jù)題意，分析可得隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，3，4，且ξ～B(4，

1

2

)，進(jìn)而可得分步列，計(jì)算可得答案．

解答：解：（1）設(shè)事件A表示“甲選做第21題”，事件B表示“乙選做第21題”，
則“甲選做第22題”為

.

A

，“甲選做第22題”為

.

B

，
進(jìn)而可得，甲、乙2名學(xué)生選做同一道題的事件為“AB+

.

A

.

B

”，且事件A、B相互獨(dú)立．
∴P(AB+

.

A

.

B

)=P(A)P(B)+P(

.

A

)P(

.

B

)=

1

2

×

1

2

+(1-

1

2

)×(1-

1

2

)=

1

2

；
（2）隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，3，4，且ξ～B(4，

1

2

)．
∴P(ξ=k)=

C

k 4

(

1

2

)k(1-

1

2

)4-k=

C

k 4

( 1 2 )4

(k=0，1，2，3，4)
∴變量ξ的分布列為：
Eξ=0×

1

16

+1×

1

4

+2×

3

8

+3×

1

4

+4×

1

16

=2（或Eξ=np=4×

1

2

=2）．

點(diǎn)評：本題考查對立事件、相互獨(dú)立事件、互斥事件的概率的計(jì)算及分步列的運(yùn)用，有一定的綜合性，需要加強(qiáng)學(xué)生的這方面的訓(xùn)練．