Question

命題p：函數(shù)f（x）=x³+ax²+ax-a既有極大值又有極小值；命題q：直線3x+4y-2=0與圓（x-a）²+y²=1有公共點(diǎn)．若命題“p或q”為真，且命題“p且q”為假，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：首先考慮p，q為真時(shí)的等價(jià)結(jié)論：函數(shù)f（x）=x³+ax²+ax-a既有極大值又有極小值說明導(dǎo)函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即判別式＞0；又直線3x+4y-2=0與圓（x-a）²+y²=1有公共點(diǎn)等價(jià)于圓心到直線的距離不大于半徑．再由命題“p或q”為真，得到p，q中至少有一個(gè)真，命題“p且q”為假得到p，q中至少有一個(gè)假，所以p，q一真一假，從而得到a的不等式組，解出即可．

解答：解：∵f（x）=x³+ax²+ax-a∴f'（x）=3x²+2ax+a
若p真則函數(shù)f（x）=x³+ax²+ax-a既有極大值又有極小值
∴△=（2a）²-4×3×a＞0
∴a＞3或a＜0--------4分
若q真則直線3x+4y-2=0與圓（x-a）²+y²=1有公共點(diǎn)
等價(jià)于圓心（a，0）到直線的距離不大于1，即

|3a+4×0-2|

32+42

≤1⇒|3a-2|≤5⇒-1≤a≤

7

3

------8分
由命題“p或q”為真，得到p，q中至少有一個(gè)真；
命題“p且q”為假，得到p，q中至少有一個(gè)假，
所以p，q一真一假．
若p真q假時(shí)，則有

a＞3或a＜0 a＞ 7 3 或a＜-1

⇒a＞3或a＜-1；
若p假q真時(shí)，則有

0≤a≤3 -1≤a≤ 7 3

⇒0≤a≤

7

3

綜上a＞3或a＜-1或0≤a≤

7

3

------12分
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞3或a＜-1或0≤a≤

7

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的真假以及函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件和直線與圓的位置關(guān)系的判斷，應(yīng)結(jié)合幾何圖形應(yīng)用圓心到直線的距離和半徑的大小關(guān)系，考查解不等式的運(yùn)算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題．