Question

14．已知函數(shù)f（x）=cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和值域；
（2）△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若f（$\frac{A}{2}$）=2且asinA=bsinC，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），易得周期和值域；
（2）由（1）和三角形的內(nèi)角范圍可得A=$\frac{π}{3}$，由正余弦定理可得b=c，可判三角形形狀．

解答 解：（1）化簡(jiǎn)可得f（x）=cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，函數(shù)的值域?yàn)閇-2，2]；
（2）∵f（$\frac{A}{2}$）=2sin（A+$\frac{π}{6}$）=2，∴sin（A+$\frac{π}{6}$）=1．
∵0＜A＜π，∴A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，∴A=$\frac{π}{3}$．
由asinA=bsinC和正弦定理可得a²=bc，
再由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，
∴（b-c）²=0，∴b=c，∴B=C=$\frac{π}{3}$．
∴△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正余弦定理解三角形，涉及三角函數(shù)公式和三角函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題．