Question

已知直線l過(guò)點(diǎn)（3，2），且與x軸、y軸的正半軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，求當(dāng)△AOB的面積最小時(shí)，直線l的方程．

Answer 1

分析：設(shè)l的斜率為k給出直線的點(diǎn)斜式方程，用參數(shù)k表示出下線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，表示出△AOB面積，判斷其最小值，求出此時(shí)的k值，代入即得直線的方程．

解答：解　如圖所示，設(shè)直線l的斜率為k，則其方程為y-2=k（x-3）．
當(dāng)x=0時(shí)，y=-3k+2；令y=0得x=-

2

k

+3．
∴S_△AOB=

1

2

（-3k+2）（-

2

k

+3）=

1

2

[12+（-9k-

4

k

）]
∵直線l與x軸和y軸的正半軸分別相交，
∴k＜0，∴S_△AOB=

1

2

[12+（-9k-

4

k

）]≥

1

2

[12+2

-9k• -4 k

]=12，
當(dāng)且僅當(dāng)-9k=-

4

k

，即k=-

2

3

時(shí)取等號(hào)，即S_△AOB有最小值12．
因此所求直線l的方程為2x+3y-12=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的一般式方程，考查用待定系數(shù)法設(shè)出直線的方程，根據(jù)已知的條件建立等式求參數(shù)，本題在判斷面積的最小值時(shí)由于出現(xiàn)了積國(guó)定值的形式，故采用了基本不等式求最小值時(shí)參數(shù)的取值，注意總結(jié)這一規(guī)律．