Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁ B₁ C₁中，AA₁=4，AB=2，M是AC的中點，點N在AA₁上，AN=

1

4

．
（1）求BC₁與側(cè)面AC C₁ A₁所成角的正弦值；
（2）證明：MN⊥B C₁；
（3）求二面角C-C₁B-M的平面角的正弦值，若在△A₁B₁C₁中，

C1E

=

1

3

EA1

，

C1F

=

1

4

FB1

，

C1H

=x

C1A1

+y

C1B1

，求x+y的值．

Answer 1

分析：（1）由等邊三角形ABC的性質(zhì)可得BM⊥AC，由正三棱柱的性質(zhì)可得 C₁ C⊥BM，利用線面垂直的判定定理可得BM⊥側(cè)面ACC₁A₁，于是∠BC₁M是所求的線面角；
（2）利用勾股定理和逆定理即可證明MN⊥MC₁，再利用（1）可得BM⊥MN，利用線面垂直的判定定理即可證明；
（3）作AD⊥BC，ME‖AD，可得ME⊥BC．作EH⊥B C₁，連接MH，利用正三棱柱的性質(zhì)和三垂線定理得 B C₁⊥MH，∴∠MHE為二面角C-C₁B-M的平面角．
利用向量共線定理找出

EH

與

EB1

的關(guān)系，再利用向量的運算法則

C1H

=

C1E

+

EH

及已知條件即可得出．

解答：（1）解：在等邊三角形ABC中，M為AC中點，BM⊥AC，
在正三棱柱中，C₁ C⊥面ABC，BM?面ABC，∴C₁ C⊥BM，
又 C₁ C∩AC=C，BM?面ABC，
則BM⊥面 A₁ C₁CA，
∠M C₁ B為 B C₁與面 A₁ C₁CA所成角．
在 Rt△C₁CB中，B C₁=2

5

，在等邊三角形ABC中，BM=

3

，
則在 R_t△M C₁ B中，sin∠M C₁ B=

BM

B C1

=

3

2 5

．
（2）連接 N C₁，在 Rt△AMN中，由勾股定理可得MN2=AM2+AN2=12+(

1

4

)2=

17

16

，
同理在 Rt△M C₁ C中，C1M = 

17

 ，在 R_t△A₁ C₁ N中，C1N =

17

4

 ，
∴(MN)2+ (M C1)2=(C1N )2，則NM⊥M C₁，
又BM⊥面 A₁ C₁CA，MN?面 A₁ C₁CA，則BM⊥MN，
又 M C₁∩MB=M，∴MN⊥面 M C₁ B，
又 B C₁?面 M C₁ B，則MN⊥B C₁．
（3）作AD⊥BC，ME‖AD，此時由于M為AC中點，則DE=EC，ME=

1

2

AD=

3

2

，且ME⊥BC，
在正三棱柱中，C₁ C⊥面ABC，ME?面ABC，則 C₁ C⊥ME，BC∩C₁C=C，BC，C₁ C均?面BC C₁，ME⊥面BC C₁，
作EH⊥B C₁，連接MH，由三垂線定理得 B C₁⊥MH，∴∠MHE為二面角C-C₁B-M的平面角．
在△MB C₁中，由

1

2

MB×M C1= 

1

2

B C1×MH ，即

1

2

×

3

×

17

=

1

2

×2

5

×MH，MH=

3 × 17

2 5

，
在 Rt△MEH中，sin∠MHE=

ME

MH

=

85

17

．
設(shè)

EH

=m

EB1

=m(

EC1

+

C1B1)

=m(-

1

4

C1A1

+

C1B1

)，

HA1

=n

FA1

=n(

FC1

+

C1A1

)=n(-

1

5

C1B1

+

C1A1

)．
∵

EH

+

HA1

=

EA1

=

3

4

C1A1

．
∴

3

4

C1A1

=m(-

1

4

C1A1

+

C1B1

)+n(-

1

5

C1B1

+

C1A1

)，
化為(

3

4

+

m

4

-n)

C1A1

+(

n

5

-m)

C1B1

=

0

，
∴

3 4 + m 4 -n=0 n 5 -m=0

，解得

m= 3 19 n= 15 19

．
∴

C1H

=

C1E

+

EH

=

1

4

C1A1

+

3

19

EB1

=

1

4

C1A1

+

3

19

(

EC1

+

C1B1

)=

1

4

C1A1

+

3

19

(-

1

4

C1A1

+

C1B1

)=

4

19

C1A1

+

3

19

C1B1

．
∵

C1H

=x

C1A1

+y

C1B1

，
∴x+y=

7

19

．

點評：熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、正三棱柱的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、線面角的定義、勾股定理和逆定理、三垂線定理、二面角定義和作法、向量共線定理、向量的運算法則是解題的關(guān)鍵．