Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sinxcosx+cos2x：
（1）求函數(shù)f（x）的周期、值域和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[

π

2

，π]時，求函數(shù)f（x）的最值．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式進行化簡整理，進而利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的周期以及單調(diào)增區(qū)間．
（2）根據(jù)（1）的函數(shù)的解析式，利用x的范圍進而確定2x+

π

6

的范圍，進而利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最值．

解答：解：（1）f(x)=

3

sinxcosx+cos2x=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

∴函數(shù)的最小正周期T=

2π

2

=π，
-1≤sin（2x+

π

6

）≤1，故函數(shù)的值域為[-

1

2

，

3

2

]
當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，即kπ-

2π

3

≤x≤kπ+

π

6

，函數(shù)單調(diào)增，
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

2π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）
（2）∵x∈[

π

2

，π]
∴2x+

π

6

∈[

7π

6

，

13π

6

]
∴當(dāng)2x+

π

6

=

3π

2

時函數(shù)的最小值為-

1

2

，
當(dāng)2x+

π

6

=

13π

6

時函數(shù)的最大值為

1

2

+

1

2

=1

點評：本題主要考查了正弦函數(shù)的定義域和值域，兩角和公式和二倍角公式的化簡求值，正弦函數(shù)的單調(diào)性等．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．