(2009•閔行區(qū)二模)(文)斜率為1的直線過拋物線y2=4x的焦點(diǎn),且與拋物線交于兩點(diǎn)A、B.
(1)求|AB|的值;
(2)將直線AB按向量
a
=(-2,0)
平移得直線m,N是m上的動(dòng)點(diǎn),求
NA
NB
的最小值.
(3)設(shè)C(2,0),D為拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn),證明:存在一條定直線l:x=a,使得l被以CD為直徑的圓截得的弦長為定值,并求出直線l的方程.
分析:(1)根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo),利用直線方程的點(diǎn)斜式寫出直線方程,代入拋物線方程,利用韋達(dá)定理,求出x1+x2,x1x2,再代入弦長公式,就可求出|AB|的值.
(2)利用向量平移公式求出直線AB平移后的方程,設(shè)出動(dòng)點(diǎn)N的坐標(biāo),代入
NA
NB
,利用(1)中所求x1+x2,x1x2,化簡,再用二次函數(shù)求最值的方法求出最小值.
(3)先假設(shè)存在一條定直線l:x=a,使得l被以CD為直徑的圓截得的弦長為定值,設(shè)出直線l與以CD為直徑的圓的交點(diǎn)為P,Q,則動(dòng)圓圓心到P,Q的距離都等于CD距離的一半,再求出動(dòng)圓圓心到直線l的距離,利用圓中半徑,弦心距,半弦滿足勾股定理,計(jì)算出半弦,看是否為常數(shù),若是,則假設(shè)正確,若不是,則假設(shè)不正確.再根據(jù)求出的a值,寫出直線l的方程即可.
解答:解:(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB:y=x-1,代入y2=4x中
可得:x2-6x+1=0
則x1+x2=6,由定義可得:|AB|=x1+x2+p=8.
(2)由(1)可設(shè)N(x0,x0+1),
NA
=(x1-x0,y1-x0-1),
NB
=(x2-x0,y2-x0-1)

NA
NB
=x1x2-x0(x1+x2)+
x
2
0
+y1y2-(x0+1)(y1+y2)+(x0+1)2

由x1+x2=6,x1x2=1,y1y2=-4,y1+y2=4
NA
NB
=2
x
2
0
-8x0-6=2(x0-2)2-14

當(dāng)x0=2時(shí),
NA
NB
的最小值為-14.                              
(3)設(shè)CD的中點(diǎn)為O',l與以CD為直徑的圓相交于點(diǎn)P、Q,
設(shè)PQ的中點(diǎn)為H,則O'H⊥PQ,O'點(diǎn)的坐標(biāo)為(
x1+2
2
,
y1
2
)

|O′P|=
1
2
|CD|=
1
2
(x1-2)2+y12
=
1
2
x
2
1
+4

|O′H|=|a-
x1+2
2
|=
1
2
|2a-x1-2|
,
∴|PH|2=|O'P|2-|O'H|2=
1
4
(
x
2
1
+4)-
1
4
(2a-x1-2)2

=(a-1)x1-a2+2a,∴|PQ|2=(2|PH|)2=4[(a-1)x1-a2+2a].                         
令a-1=0,得a=1,此時(shí)|PQ|=2為定值,
故滿足條件的直線l存在,其方程為x=1,即拋物線的通徑所在的直線.
點(diǎn)評:本題主要考查了直線與拋物線相交時(shí)弦長的求法,直線與圓相交時(shí)弦長的求法,其中注意韋達(dá)定理的應(yīng)用.
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(2009•閔行區(qū)二模)(文)計(jì)算
lim
n→∞
2n2+1
3n(n-1)
=
2
3
2
3

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(2009•閔行區(qū)二模)(理)若函數(shù)f(x)=
3x+1  (x≥1)
x-4
x-2
 (x<1).
則f-1(2)=
0
0

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(2009•閔行區(qū)二模)(文)若f(x)=
x-4x-2
,則f-1(2)=
0
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(2009•閔行區(qū)二模)(文)若直線l經(jīng)過點(diǎn)P(1,2),且法向量為
n
=(3,-4)
,則直線l的方程是
3x-4y+5=0
3x-4y+5=0
(結(jié)果用直線的一般式表示).

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