已知函數(shù)f（x）=loga（x+m），g（x）=loga（1-x）其中（a＞0且a≠1）．若函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點是0
（1）求函數(shù)F（x）的解析式及定義域；
（2）判斷F（x）的奇偶性，并說明理由；
（3）求使F（x）＞0成立的x的集合．

解：（1）∵函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的零點是0，
∴f（0）-g（0）=0，即logam-loga1=0，（a＞0且a≠1），解得m=1．
∴F（x）=loga（x+1）-loga（1-x），（a＞0且a≠1），
∵，解得-1＜x＜1，∴函數(shù)F（x）的定義域為{x|-1＜x＜1}，此時F（x）=；
（2）∵=-=-F（x），又函數(shù)F（x）的定義域為{x|-1＜x＜1}，
∴函數(shù)F（x）為奇函數(shù)；
（3）①當a＞1時，由，得，又-1＜x＜1，解得0＜x＜1，其解集為{x|0＜x＜1}；
②當0＜a＜1時，由，得，又-1＜x＜1，解得-1＜x＜0，其解集為{x|-1＜x＜0}；
綜上可知：當a＞1時，F(xiàn)（0）＞0的解集為{x|0＜x＜1}；
當0＜a＜1時，F(xiàn)（0）＞0的解集為{x|-1＜x＜0}．
分析：（1）利用函數(shù)的零點即可求得m的值，進而求出函數(shù)的解析式和定義域；
（2）利用函數(shù)的奇偶性的定義即可判斷出；
（3）對底數(shù)a分類討論，再利用對數(shù)函數(shù)的單調性即可得出．
點評：熟練掌握對數(shù)函數(shù)類型的函數(shù)的奇偶性和單調性及分類討論的思想方法是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調遞減，在（
6
，+∞）上單調遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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