Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-3x²+1，若f（x）存在唯一的零點x₀，且x₀＞0．則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)零點的判定定理

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：分類討論：當(dāng)a≥0時，容易判斷出不符合題意；當(dāng)a＜0時，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和極值之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求極小值f（

2

a

）＞0，解出即可．

解答： 解：當(dāng)a=0時，f（x）=-3x²+1=0，解得x=±

3

3

，函數(shù)f（x）有兩個零點，不符合題意，應(yīng)舍去；
當(dāng)a＞0時，令f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-

2

a

）=0，解得x=0或x=

2

a

＞0，列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0， 2 a ）	2 a	（ 2 a ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∵x→-∞，f（x）→-∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合條件：f（x）存在唯一的零點x₀，且x₀＞0，應(yīng)舍去．
當(dāng)a＜0時，f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-

2

a

）=0，解得x=0或x=

2

a

＜0，列表如下：

x	（-∞， 2 a ）	2 a	（ 2 a ，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

而f（0）=1＞0，x→+∞時，f（x）→-∞，∴存在x₀＞0，使得f（x₀）=0，
∵f（x）存在唯一的零點x₀，且x₀＞0，∴極小值f（

2

a

）=a（

2

a

）³-3（

2

a

）²+1＞0，
化為a²＞4，
∵a＜0，∴a＜-2．
綜上可知：a的取值范圍是（-∞，-2）．
故答案為：（-∞，-2）．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．