Question

已知函數(shù)f（x）=

2

x-1

（x∈[2，6]）
（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明你的結(jié)論；
（2）求函數(shù)的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）可得函數(shù)為減函數(shù)，由定義法可證；
（2）由單調(diào)性可知，x=2時(shí)取得最大值，x=6時(shí)取得最小值，代值計(jì)算即可．

解答：解：（1）f（x）=

2

x-1

在[2，6]上是減函數(shù)--------（2分）
下面證明：設(shè)x₁，x₂是區(qū)間[2，6]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，---------（3分）
則f（x₁）-f（x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

---（5分）
由2≤x₁＜x₂≤6 得x₂-x₁＞0 （x₁-1）（x₂-1）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0 即 f（x₁）＞f（x₂）-------------（7分）
∴f（x）=

2

x-1

在[2，6]上是減函數(shù)--------------（8分）
（2）∵f（x）=

2

x-1

在[2，6]上是減函數(shù)
∴f（x）=

2

x-1

在x=2時(shí)取得最大值，最大值是2--------（10分）
在x=6時(shí)取得最小值，最小值是0.4----------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，以及函數(shù)最值得求解，屬基礎(chǔ)題．