Question

已知函數(shù)f(x)=ax2-ln

x+1

，g(x)=x3
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，證明：對(duì)x∈（0，1）時(shí)，不等式2f（x）＜g（x）成立；
（3）當(dāng)n≥2，，n∈N^*證明：ln

3

2

•ln

4

3

…ln

n+1

n

＜

1

n

•

1

(n!)2

．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)和f（x）的定義域，并求出導(dǎo)函數(shù)分子中多項(xiàng)式的根的判別式，分a小于等于0大于等于-1，a大于0和a小于-1三種情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)和根的判別式的正負(fù)即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)h（x）=2f（x）-g（x），把f（x）和g（x）的解析式代入h（x）中確定出h（x），求出h（x）的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)小于0即h（x）為減函數(shù)，得到h（x）小于h（0），而h（0）=0，化簡(jiǎn)得證；
（3）由（2）中的h（x）小于0得到ln（x+1）小于x²-x³，令x=

1

n

，即可得到ln(

1

n

+1)＜(

1

n

)2-(

1

n

)3=

n-1

n

•(

1

n

)2，同理把n換成n-1，n-2，…，2，把所有的不等式相乘，約分化簡(jiǎn)后得證．

解答：解（1）f′(x)=

4ax2+4ax-1

2(x+1)

（x＞-1），△=16a（a+1），
①-1≤a≤0時(shí)，△＜0，f′（x）＜0，單調(diào)減區(qū)間（-1，+∞）；
②a＞0時(shí)，△＞0，單調(diào)減區(qū)間(-1，

-a+ a2+a

2a

)；增區(qū)間(

-a+ a2+a

2a

，+∞)；
③a＜-1時(shí)，△＞0，單調(diào)減區(qū)間(-1，

-a+ a2+a

2a

)∪(

-a- a2+a

2a

，+∞)；增區(qū)間(

-a+ a2+a

2a

，

-a- a2+a

2a

)；
（2）設(shè)h（x）=2f（x）-g（x）=x²-ln（x+1）-x³，h′(x)=

-(x-1)2-x3

x+1

＜0，
所以h（x）＜h（0）=0，即2f（x）＜g（x），
（3）由（2）ln（x+1）＜x²-x³，
令x=

1

n

∈(0，1)，則ln(

1

n

+1)＜(

1

n

)2-(

1

n

)3=

n-1

n

•(

1

n

)2，
同理ln(

1

n-1

+1)＜

n-2

n-1

•(

1

n-1

)2，…，ln(

1

2

+1)＜

1

2

•(

1

2

)2，累乘即得證．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，掌握導(dǎo)數(shù)在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，是一道綜合題．