Question

已知數(shù)列{a_n}中a₁＝2，a_n+1＝(－1)( a_n＋2)，n＝1，2，3，….（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}中b₁＝2，b_n+1＝，n＝1，2，3，….證明：＜b_n≤a_4n-3，n＝1，2，3，…

Answer 1

(Ⅰ)  a_n＝[(－1)ⁿ＋1]  (Ⅱ)見(jiàn)解析

解析:

（Ⅰ）由題設(shè)：a_n+1＝(－1)(a_n＋2)＝(－1)(a_n－)＋(－1)(2＋)，

＝(－1)(a_n－)＋，∴a_n+1－＝(－1)(a_n－)．

所以，數(shù)列{a_n－}a是首項(xiàng)為2－，公比為－1)的等比數(shù)列，a_n－＝(－1)ⁿ，

即a_n的通項(xiàng)公式為a_n＝[(－1)ⁿ＋1]，n＝1，2，3，….

（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明．

（�。┊�(dāng)n＝1時(shí)，因＜2，b₁＝a₁＝2，所以＜b₁≤a₁，結(jié)論成立．

（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，結(jié)論成立，即＜b_k≤a_4k-3，，也即0＜b_n－≤a_4k-3－，

當(dāng)n＝k＋1時(shí)，b_k+1－＝－＝＝＞0，

又＜＝3－2，所以b_k+1－＝＜(3－2)²(b_k－)≤(－1)⁴(a_4k-3－)＝a_4k+1－也就是說(shuō)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立．

根據(jù)（ⅰ）和（ⅱ）知＜b_n≤a_4n-3，n＝1，2，3，….