Question

定義在R上的偶函數，f（x）滿足：對任意的x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），有（x₁-x₂）[f（x₂）-f（x₁）]＞0，則當n∈N^*時，有（　　）

• A、f（-n）＜f（n-1）＜f（n+1）
• B、f（n-1）＜f（-n）＜f（n+1）
• C、f（n+1）＜f（-n）＜f（n-1）
• D、f（n+1）＜f（n-1）＜f（-n）

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明

專題：探究型,函數的性質及應用

分析：由“x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），有（x₁-x₂）（f（x₂）-f（x₁））＞0”可得，當“x₂＞x₁時，f（x₁）＞f（x₂）”，符合減函數的定義，所以f（x）在（-∞，0]為減函數，再由f（x）為偶函數，則知f（x）在（0，+∞）為增函數，由n+1＞n＞n-1＞0，可得結論．

解答： 解：x₁，x₂∈（-∞，0]（x₁≠x₂），有（x₁-x₂）（f（x₂）-f（x₁））＞0，
∴x₂＞x₁時，f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0]為減函數；
∵f（x）為偶函數，
∴f（x）在（0，+∞）為增函數，
而n+1＞n＞n-1＞0，
∴f（n+1）＞f（n）＞f（n-1），
∴f（n+1）＞f（-n）＞f（n-1），
故選：B．

點評：本題主要考查單調性定義的變形與應用，還考查了奇偶性在對稱區(qū)間上的單調性，結論是：偶函數在對稱區(qū)間上的單調相反，奇函數在對稱區(qū)間上的單調性相同，屬于基本知識的考查．