Question

已知f（x）=log_a

1-x

1+x

，（a＞0且a≠1）．
（1）若m，n∈（-1，1），求證f（m）+f（n）=f（

m+n

1+mn

）；
（2）判斷f（x）在其定義域上的奇偶性，并予以證明；
（3）確定f（x）在（0，1）上的單調(diào)性．

Answer 1

（1）∵f（x）=log_a

1-x

1+x

，∴

1-x

1+x

＞0?-1＜x＜1
  m，n∈（-1，1），∴f（m）+f（n）=log_a

1-m

1+m

+log_a

1-n

1+n

=log_a（

1-m

1+m

•

1-n

1+n

）
=log_a

1-m-n+mn

1+m+n+mn

=log_a

1+mn-m-n 1+mn

1+mn+m+n 1+mn

=log_a

1- m+n 1+mn

1+ m+n 1+mn

=f（

m+n

1+mn

）   
（2）∵f（-x）+f（x）=log_a

1+x

1-x

+log_a

1-x

1+x

=log_a

1+x

1-x

•

1-x

1+x

=log_a1=0，
∴f（x）在其定義域（-1，1）上為奇函數(shù)．   
（3）設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，f（x₁）-f（x₂）=log_a

1-x1

1+x1

-log_a

1-x2

1+x2

=log_a

1-x1

1+x1

•

1+x2

1-x2

=log_a

1+x2-x1-x1x2

1+x1-x2-x1x2

∵0＜x₁＜x₂＜1，∴1+x₂-x₁-x₁x₂＞1+x₁-x₂-x₁x₂＞0?

1+x2-x1-x1x2

1+x1-x2-x1x2

＞1
∴當0＜a＜1，f（x₁）-f（x₂）＜0，從而f（x）在（0，1）上為增函數(shù)；
當a＞1，f（x₁）-f（x₂）＞0，從而f（x）在（0，1）上為減函數(shù)．