Question

求下列函數(shù)的值域
（1）y=log_a（-2sin²x+5sinx-2）；
（2）y=sin(x-

π

6

)cosx．

Answer 1

分析：（1）中所給函數(shù)是由對數(shù)函數(shù)和一元二次構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，其單調(diào)性遵循同增異減，欲求該對數(shù)函數(shù)的值域，需要采用換元法求出真數(shù)的p的范圍．
（2）中所給函數(shù)是兩個不同角的三角函數(shù)式乘積，可以用差角的正弦公式展開原式，再利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式合并成同一名下的三角函數(shù)，最后結(jié)合三角函數(shù)自身的有界性解決本題．

解答：解：（1）令sinx=t，則-1≤t≤1，則真數(shù) p=-2sin²x+5sinx-2=-2(t-

5

4

)2+

9

8

，p＞0
∵-1≤t≤1，∴-

9

4

≤t-

5

4

≤-

1

4

∴-9≤-2(t-

5

4

)2+

9

8

≤1，-9≤p≤1
∴0＜p≤1
即y=log_ap，（，-9≤p≤1）
故當(dāng)a＞1時，函數(shù)值域為（-∞，0]
當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)的值域為[0，+∞）．
（2）y=sin(x-

π

6

)cosx=（sinxcos

π

6

-cosxsin

π

6

）•cosx
=

1

2

sin(2x-

π

6

)-

1

4

∵-1≤sin(2x-

π

6

) ≤1
∴函數(shù)值域為[-

3

4

，

1

4

]．

點評：換元法或三角函數(shù)法求值域，最大的問題是范圍，要充分注意換元后的范圍以及三角函數(shù)的有界性．
另外，正（余）弦型函數(shù)y=Asin（wx+θ）+b，（y=Acos（wx+θ）+b）的特點如下：
一名（整個函數(shù)表達(dá)式只有一個三角函數(shù)名，能充分發(fā)揮三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用）
一角（整個函數(shù)表達(dá)式只有一個角，有利于結(jié)合三角函數(shù)的有界性）
一次（最高次冪是一次的，有利于結(jié)合繁雜的誘導(dǎo)公和三角函數(shù)性質(zhì)）