Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²+lnx
（1）求y=-f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=ax-f（x）存在極值，且所有極值之和大于5-ln$\frac{1}{2}$，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）方程2x²-ax+1=0在（0，+∞）上有根，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）y′=-2x-$\frac{1}{x}$=-$\frac{{2x}^{2}+1}{x}$＜0，
故函數(shù)y=-f（x）在（0，+∞）遞減；
（2）g（x）=ax-x²-lnx，（x＞0），
g′（x）=a-2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{-{2x}^{2}+ax-1}{x}$，（x＞0），
∵g（x）存在極值，
∴g′（x）=0在（0，+∞）上有根，
即方程2x²-ax+1=0在（0，+∞）上有根．
設(shè)方程2x²-ax+1=0的兩根為x₁，x₂，
由韋達(dá)定理得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{•x}_{2}=\frac{1}{2}＞0}\\{{x}_{1}{+x}_{2}=\frac{a}{2}＞0}\end{array}\right.$，
所以方程的根必為兩不等正根．
f（x₁）+f（x₂）=a（x₁+x₂）-（x₁²+x₂²）-（lnx₁+lnx₂）
=$\frac{{a}^{2}}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$+1-ln$\frac{1}{2}$＞5-ln$\frac{1}{2}$，
∴a²＞16，
又a²＞16滿足方程2x²-ax+1=0判別式大于零，
故所求取值范圍為（4，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．