Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，已知對任意n∈N*，S_n是a_n²和a_n的等差中項(xiàng)．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明++…+＜2；
（Ⅲ）設(shè)集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使對滿足n＞m的一切正整數(shù)n，不等式S_n-1005＞恒成立，求這樣的正整數(shù)m共有多少個(gè)？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)求得a₁；當(dāng)n≥2時(shí)根據(jù)2a_n=2S_n-2S_n-1化簡整理得a_n-a_n-1=1判斷數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
（Ⅱ）把（Ⅰ）求得的a_n代入S_n進(jìn)而可根據(jù)裂項(xiàng)法進(jìn)行求和得++…+=2（1-）＜2；原式得證．
（Ⅲ）S_n-1005＞，求得n的范圍．進(jìn)而可得集合M，依據(jù)m∈M，所以m=2010，2012，，2998均滿足條件，且這些數(shù)組成首項(xiàng)為2010，公差為2的等差數(shù)列，進(jìn)而求得k
解答：解：（Ⅰ）由已知，2S_n=a_n²+a_n，且a_n＞0．，當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=a₁²+a₁，解得a₁=1．
當(dāng)n≥2時(shí)，有2S_n-1=a_n-1²+a_n-1．于是2S_n-2S_n-1=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1，即2a_n=a_n²-a_n-1²+a_n-a_n-1
．于是a_n²-a_n-1²=a_n+a_n-1，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=a_n+a_n-1．
因?yàn)閍_n+a_n-1＞0，所以a_n-a_n-1=1（n≥2）．
故數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，且a_n=n．
（Ⅱ）因?yàn)閍_n=n，則S_n==2（-）．
所以+++=2[（1-）+（-）++（-）]=2（1-）＜2；
（Ⅲ）由S_n-1005＞，得-1005＞，即＞1005，所以n＞2010．
由題設(shè)，M={2000，2002，，2008，2010，2012，，2998}，
因?yàn)閙∈M，所以m=2010，2012，，2998均滿足條件，且這些數(shù)組成首項(xiàng)為2010，公差為2的等差數(shù)列．
設(shè)這個(gè)等差數(shù)列共有k項(xiàng)，則2010+2（k-1）=2998，
解得k=495．
故集合M中滿足條件的正整數(shù)m共有495個(gè)．
點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)特別是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．