Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，當E、F分別在線段AD、BC上，且EF⊥BC，AD=4，CB=6，AE=2，現(xiàn)將梯形ABCD沿EF折疊，使平面ABFE與平面EFCD垂直．

（1）判斷直線AD與BC是否共面，并證明你的結論；
（2）當直線AC與平面EFCD所成角為多少時，二面角A-DC-E的大小是60°．

Answer 1

分析：（1）直線AD與BC是異面直線，我們可以用兩種不同的方法來證明結論．
反證法：假直線AD與BC共面，由線面平行的性質(zhì)定理及平行公理，我們可以得到CD∥AB，這與已知中ABCD為梯形矛盾，進而得到直線AD與BC是異面直線；
直接法：在FC上取一點M，使FM=ED，根據(jù)平行四邊形的判定及性質(zhì)，可得DM∥AB，進而根據(jù)異面直線判定定理，得到結論；
（2）延長CD，EF，相交于N，設AB=x，則△NDE中，NE=x，過E作EH⊥DN于H，連接AH，可證得∠AHE是二面角A-DC-E的平面角，由已知中二面角A-DC-E的大小是60°我們可以構造方程求出x值，構造∠ACE是直線AC與平面EFCD所成的角，解三角形ACE即可求出直線AC與平面EFCD所成角，進而得到答案．

解答：證明：（1）直線AD與BC是異面直線，（1分）
法一（反證法）假設直線AD與BC共面為α．
∵EF⊥BC，∠ABC=90°，
∴EF∥AB，EF?α，AB?α．
∴EF∥α，又EFCD∩α=CD
∴EF∥CD．
∴CD∥AB
這與ABCD為梯形矛盾．故假設不成立．即直線AD與BC是異面直線．
法二：在FC上取一點M，使FM=ED，又FM∥ED，
∴EFMD是平行四邊形．
∴DM∥EF，又EF∥AB
∴DM∥AB，
則DM，AB確定平面α，B∈α，C∉α，AD?α
∴BC與AD是異面直線．
解：（2）延長CD，EF，相交于N，AE=2，AD=4，BC=6，
∴ED=2，CF=4，設AB=x，則△NDE中，NE=x，
∵AE⊥EF，平面ABFE⊥平面EFCD，
∴AE⊥平面EFCD．過E作EH⊥DN于H，連接AH，
則AH⊥DN．
∴∠AHE是二面角A-DC-E的平面角，
則∠AHE=60°．
∵NE=x，DE=2
∴HE=

2x

x2+4

，AE=2，
∴tan∠AHE=

AE

EH

=

x2+4

x

=

3

∴x=

2

，
此時在△EFC中，EF=

2

，F(xiàn)C=4
∴EC=3

2

，．又AE⊥平面EFCD，
∴∠ACE是直線AC與平面EFCD所成的角，
∴tan∠ACE=

AE

EC

=

2

3

即當直線AC與平面EFCD所成角為arctan

2

3

時，二面角A-DC-E的大小為60°．

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，異面直線的判定，其中（1）中反證法關鍵是由假設結論不成立，推理后得到矛盾，直接法是要熟練掌握異面直線的判定定理，（2）的關鍵是找出∠AHE是二面角A-DC-E的平面角，∠ACE是直線AC與平面EFCD所成的角．