Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），且滿足條件：
①f（x•y）=f（x）+f（y）    ②f（2）=1    ③當(dāng)x＞1時，f（x）＞0
（1）求f（1）的值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）求滿足f（x）+f（2x）≤2的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在①中令x=y=1，可由f（x•y）=f（x）+f（y），求出f（1）的值
（2）在①中令y=

1

x

，結(jié)合（1）中f（1）=0，當(dāng)x＞1時，f（x）＞0，分析f（x₂）-f（x₁）的符號，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，可得答案．
（3）由f（2）=1，可得2=f（4），結(jié)合（2）中函數(shù)的單調(diào)性，可將不等式f（x）+f（2x）≤2，轉(zhuǎn)化為不等式組

x＞0 2x＞0 x•2x≤4

，解得x的取值范圍．

解答：解：（1）在①中令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1）故 f（1）=0   …（2分）
（2）在①中令y=

1

x

，得f（1）=f（x）+f（

1

x

）=0
即f（

1

x

）=-f（x），
函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞增，理由如下：
任取x₁，x₂，設(shè)x₂＞x₁＞0，
∴

x2

x1

＞1
∵當(dāng)x＞1時，f（x）＞0
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（

1

x1

）=f（

x2

x1

）＞0   …（6分）
f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，…（8分）
（3）由f（2）=1，得2f（2）=2=f（2）+f（2）=f（4）…（9分）
∴f（x）+f（2x）≤2可化為

x＞0 2x＞0 x•2x≤4

解得0＜x≤

2

．…（12分）

點評：本題考查的知識點是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，其中熟練掌握抽象函數(shù)的解答方法是解答的關(guān)鍵．