Question

8．設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{e^x}{x-1}$．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若當(dāng)x≥2時(shí)，f'（x）≥af（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性；（Ⅱ）對(duì)于恒成立的問題，轉(zhuǎn)化為求關(guān)于參數(shù)的最值問題．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域是（-∞，1）∪（1，+∞），
f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{{（x-1）}^{2}}$，
由f′（x）＞0，解得：x＞2，由f′（x）＜0，解得：x＜2且x≠1，
故f（x）在（2，+∞）遞增，在（-∞，1），（1，2）遞減；
（Ⅱ）由題意得：x≥2時(shí)，$\frac{{e}^{x}（x-2）}{{（x-1）}^{2}}$≥$\frac{{ae}^{x}}{x-1}$恒成立，
即x-2≥a（x-1）恒成立，解得：a≤$\frac{x-2}{x-1}$，
令g（x）=$\frac{x-2}{x-1}$，（x≥2），則g′（x）=$\frac{1}{{（x-1）}^{2}}$＞0，
故g（x）在[2，+∞）遞增，
故g（x）≥g（2）=0，
故a的范圍是（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，著重考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與構(gòu)造函數(shù)思想、考查基本不等式的應(yīng)用與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．