Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=x²（ax-3），其中a為常數(shù)．
（I）若x=1是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；
（II）若x∈[0，2]時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）+f'（x）在x=0處取得最大值，求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求出f'（x）=3ax²-6x，根據(jù)題意可得f'（1）=3a-6=0，可以得出a=2；
（II）先得出g（x）=ax³+3（a-1）x²-6x（a＞0），所以g'（x）=3ax²+6（a-1）x-6是一個(gè)二次函數(shù)，討論此函數(shù)的根的判別式和零點(diǎn)的分布，可以得出最大值只能為g（0）或g（2），再根據(jù)已知條件得g（0）≥g（2），可解出a的取值范圍．

解答：解：（I）∵f（x）=ax³-3x²，∴f'（x）=3ax²-6x，
∵x=1是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，∴f'（1）=3a-6=0，
∴a=2．
（II）g（x）=ax³+3（a-1）x²-6x（a＞0）
g'（x）=3ax²+6（a-1）x-6，△=36（a-1）²+72a=36（a²+1），
∴f'（x）=0有兩個(gè)實(shí)根，設(shè)這兩個(gè)實(shí)根為x₁，x₂，
則x1x2=-

2

a

＜0，
設(shè)x₁＜0＜x₂，當(dāng)0＜x₂＜2時(shí)，g（x₂）為極小值，
所以g（x）在[0，2]上的最大值只能為g（0）或g（2）
當(dāng)x₂≥2時(shí)，g（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，g（x）的最大值為g（0），
所以g（x）在[0，2]上的最大值只能為g（0）或g（2），
又已知g（x）在x=0處取得最大值，所以g（0）≥g（2），
即0≥20a-24，解得a≤

6

5

，∴0＜a≤

6

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的能力，屬于難題．