Question

【題目】函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（1）=0，當(dāng)x＜0時，xf′（x）+f（x）＞0，則使得f（x）＜0成立的x的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
B.（﹣1，0）∪（1，+∞）
C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D.（﹣1，0）∪（0，1）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：設(shè)g（x）=xf（x），則g′（x）=xf′（x）+f（x），
∵當(dāng)x＜0時，xf′（x）+f（x）＞0，
∴則當(dāng)x＜0時，g′（x）＞0，
∴函數(shù)g（x）=xf（x）在（﹣∞，0）上為增函數(shù)，
∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴g（﹣x）=（﹣x）f（﹣x）=（﹣x）[﹣f（x）]=xf（x）=g（x），
∴函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)，
由f（1）=0得，g（1）=0，函數(shù)g（x）的圖象大致如右圖：
∵不等式f（x）＜0 ＜0，
∴ 或 ，
由函數(shù)的圖象得，﹣1＜x＜0或x＞1，
∴使得f（x）＜0成立的x的取值范圍是：（﹣1，0）∪（1，+∞），
故選：B．

【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減．