Question

（2013•日照一模）如圖，四邊形ABCD是正方形，延長(zhǎng)CD至E，使得DE=CD．若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，其中

AP

=λ

AB

+μ

AE

，下列判斷正確的是（　　）

A．滿足λ+μ=2的點(diǎn)P必為BC的中點(diǎn)

B．滿足λ+μ=1的點(diǎn)P有且只有一個(gè)

C．λ+μ的最大值為3

D．λ+μ的最小值不存在

Answer 1

分析：建立坐標(biāo)系可得

AP

=λ

AB

+μ

AE

=（λ-μ，μ），A，B選項(xiàng)可舉反例說明，通過P的位置的討論，結(jié)合不等式的性質(zhì)可得0≤λ+μ≤3，進(jìn)而可判C，D的正誤，進(jìn)而可得答案．

解答：解：由題意，不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
則B（1，0），E（-1，1），故

AB

=（1，0），

AE

=（-1，1），
所以

AP

=λ

AB

+μ

AE

=（λ-μ，μ），
當(dāng)λ=μ=1時(shí)，

AP

=（0，1），此時(shí)點(diǎn)P與D重合，滿足λ+μ=2，但P不是BC的中點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)λ=1，μ=0時(shí)，

AP

=（1，0），此時(shí)點(diǎn)P與B重合，滿足λ+μ=1，
當(dāng)λ=

1

2

，μ=

1

2

時(shí)，

AP

=（0，

1

2

），此時(shí)點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，滿足λ+μ=1，
故滿足λ+μ=1的點(diǎn)不唯一，故B錯(cuò)誤；
當(dāng)P∈AB時(shí)，有0≤λ-μ≤1，μ=0，可得0≤λ≤1，故有0≤λ+μ≤1，
當(dāng)P∈BC時(shí)，有λ-μ=1，0≤μ≤1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故1≤λ+μ≤3，
當(dāng)P∈CD時(shí)，有0≤λ-μ≤1，μ=1，所以0≤λ-1≤1，故1≤λ≤2，故2≤λ+μ≤3，
當(dāng)P∈AD時(shí)，有λ-μ=0，0≤μ≤1，所以0≤λ≤1，故0≤λ+μ≤2，
綜上可得0≤λ+μ≤3，故C正確，D錯(cuò)誤．
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量加減的幾何意義，涉及分類討論以及反例的方法，屬中檔題．