Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，AB⊥平面PAD，E為PC的中點(diǎn)．
（1）求證：BE∥平面PAD；
（2）若AD⊥PB，求證：PA⊥平面ABCD．

Answer 1

【答案】分析：（1）取PD中點(diǎn)F，連接EF，AF，可得EF∥CD，且CD=2EF，再結(jié)合題意可得EFAB，即可得到BE∥AF，進(jìn)而根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理得到線(xiàn)面平行．
（2）由題意可得：AB⊥AD，AB⊥PA，再結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理可得：AD⊥平面PAB，則得到AD⊥PA，再利用線(xiàn)面垂直的判定定理得到線(xiàn)面垂直．
解答：證明：（1）取PD中點(diǎn)F，連接EF，AF．

因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是PD的中點(diǎn)，
所以EF∥CD，且CD=2EF．
又因?yàn)锳B∥CD，CD=2AB，
所以EFAB，即四邊形ABEF是平行四邊形．
所以BE∥AF．…（5分）
又AF?平面PAD，BE?平面PAD，
所以BE∥平面PAD．…（8分）
（2）因?yàn)锳B⊥平面PAD，PA，AD?平面PAD，
所以Ab⊥AD，AB⊥PA…（10分）
因?yàn)锳D⊥AB，AD⊥PB，AB∩PB=B，
所以AD⊥平面PAB．…（12分）
又PA?平面PAB，
所以AD⊥PA，
因?yàn)锳B∩AD=A，
所以PA⊥面ABCD．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間中直線(xiàn)與平面、直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系，解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握線(xiàn)面平行與線(xiàn)面垂直的判定定理，此題屬于基礎(chǔ)題，考查形式的邏輯推理與空間想象能力．