Question

已知R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足：f′（x）+f（x）＞0，且f（1）=1則不等式f（x）＞

1

ex-1

的解是

 

．

Answer 1

分析：由f（x）＞

1

ex-1

可知e^xf（x）＞e，構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^xf（x）-e，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答：解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^xf（x）-e，
則g'（x）=e^xf（x）+e^xf'（x）=e^x（f'（x）+f（x）），
∵f′（x）+f（x）＞0，e^x＞0，
∴g'（x）=e^xf（x）+e^xf'（x）=e^x（f'（x）+f（x））＞0，
即函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增，是增函數(shù)．
∵f（1）=1，
∴g（1）=ef（1）-e=e-e=0，
∴當x＞1時，g（x）＞g（1），
即g（x）＞0，
∴g（x）=e^xf（x）-e＞0，
即不等式f（x）＞

1

ex-1

成立，
此時x＞1，
故不等式的解集為（1，+∞），
故答案為：（1，+∞）．

點評：本題主要考查不等式的解法，根據(jù)不等式的性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^xf（x）-e，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強．