6．已知0＜x＜$\frac{π}{2}$，f（x）=$\frac{1}{sinx}$+$\frac{2009}{1-sinx}$的最小值為2010+2$\sqrt{2009}$．

分析 由0＜x＜$\frac{π}{2}$得，0＜sinx＜1，1-sinx＞0，然后進(jìn)行等量代換，即把解析式中的1換為sinx+1-sinx，然后利用基本不等式求出最小值．

解答 解：由0＜x＜$\frac{π}{2}$得，0＜sinx＜1，1-sinx＞0，
∴f（x）=$\frac{1}{sinx}$+$\frac{2009}{1-sinx}$=$\frac{1-sinx+sinx}{sinx}$+2009×$\frac{sinx+1-sinx}{1-sinx}$=2010+$\frac{1-sinx}{sinx}$+$\frac{2009sinx}{1-sinx}$≥2010+2$\sqrt{\frac{1-sinx}{sinx}•\frac{2009sinx}{1-sinx}}$=2010+2$\sqrt{2009}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1-sinx}{sinx}$=$\frac{2009sinx}{1-sinx}$取等號，
故答案為：2010+2$\sqrt{2009}$．

點(diǎn)評 本題考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

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