Question

已知函數(shù)f（x）＝lnx＋ax2－（a＋1）x（a∈R）.

（1）當a＝1時，求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（2）當a＞0時，若f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值為－2，求實數(shù)a的值；

（3）若對?x1，x2∈（0，＋∞），x1＜x2，且f（x1）＋x1＜f（x2）＋x2恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）a＝2；（3）0≤a≤4

【解析】試題分析：（1）先求導函數(shù)，找出切線斜率及切點坐標，可寫出切線方程；（2）利用導函數(shù)，找到函數(shù)在[1，e]上的最小值點，討論最小值等于－2的各種情況，求出a的值；（3）轉化為函數(shù)g（x）＝f（x）＋x在（0，＋∞）上單調遞增求解.

試題解析：（1）當a＝1時，. 1分

因為f '（1）＝0，. 1分

1分

所以切線方程為 1分

（2）函數(shù)的定義域是.

當a＞0時，

令f '（x）＝0，即，

所以x＝1或. 1分

①當，即a≥1時，f（x）在［1，e]上單調遞增，

所以f（x）在［1，e]上的最小值是，解得； 1分

②當時，f（x）在［1，e]上的最小值是，即

令，， 1分

可得：，

而，，不合題意，舍去； 1分

③當時，f（x）在[1，e]上單調遞減，

所以f（x）在［1，e]上的最小值是，

解得，不合題意，舍去. 1分

綜上：a＝2. 1分

（3）設g（x）＝f（x）＋x，則，

只要g（x）在（0，＋∞）上單調遞增即可. 1分

而

當a＝0時，，此時g（x）在（0，＋∞）上單調遞增； 1分

當a≠0時，只需g'（x）≥0在（0，＋∞）上恒成立，

因為x∈（0，＋∞），只要ax2－ax＋1≥0，

則需要a＞0， 1分

對于函數(shù)y＝ax2－ax＋1，過定點（0，1），對稱軸，只需，

即0＜a≤4. 綜上0≤a≤4. 1分

考點：導數(shù)的幾何意義，函數(shù)的單調性，不等式恒成立問題