已知函數(shù)f(x)=-x3+ax在(0,1)上是增函數(shù).
(1)求實數(shù)a的取值范圍A;
(2)當(dāng)a為A中最小值時,定義數(shù)列{an}滿足:a1=b∈(0,1),且2an+1=f(an),試比較an與an+1的大。
解:(1)∵f(x)=-x
3+ax,
∴f′(x)=-3x
2+a,
∵f(x)=-x
3+ax在(0,1)上是增函數(shù),
∴f′(1)=-3+a≥0,
∴a≥3,即A=[3,+∞).
(2)當(dāng)a=3時,由題意:a
n+1=
f(a
n)=-
+
a
n,且a
1=b∈(0,1),
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明:a
n∈(0,1),對n∈N
*恒成立.
①當(dāng)n=1時,a
1=b∈(0,1)成立;
②假設(shè)n=k時,a
k∈(0,1)成立,那么當(dāng)n=k+1時,
a
k+1=-
a
k3+
a
k,由①知g(x)=(-x
3+3x)在(0,1)上單調(diào)遞增,
∴g(0)<g(a
k)<g(1)
即0<a
k+1<1,
由①②知對一切n∈N
*都有a
n∈(0,1)
而a
n+1-a
n=-
a
n3+
a
n-a
n=
a
n(1-a
n2)>0
∴a
n+1>a
n.
分析:(1)當(dāng)x∈(0,1)時,函數(shù)f(x)=-x
3+ax在(0,1)上是增函數(shù)可得f′(1)=-3+a≥0,可求得實數(shù)a的取值范圍A;
(2)當(dāng)a=3時,可求得a
n+1=
f(a
n)=-
+
a
n,且a
1=b∈(0,1),用數(shù)學(xué)歸納法證明a
n∈(0,1),對n∈N
*恒成立,再作差比較a
n與a
n+1的大。
點評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,著重考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,用數(shù)學(xué)歸納法證明:a
n∈(0,1),對n∈N
*恒成立是關(guān)鍵,也是難點所在,考查數(shù)列與函數(shù)的綜合,屬于難題.