Question

9．若橢圓的中點在原點，一個焦點為（0，2），直線y=3x+7與橢圓相交所得弦的中點的縱坐標為1，則這個橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．

Answer 1

分析 由題意設(shè)出橢圓方程，和直線方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，然后利用根與系數(shù)關(guān)系求解．

解答 解：焦點為（0，2），焦點位于y軸，且c=2，
則a²-b²=4，
∴可設(shè)橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{^{2}+4}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$，
$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+7}\\{\frac{{y}^{2}}{^{2}+4}+\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（10b²+4）y²-14（b²+4）y-9b⁴+13b²+196=0，
設(shè)直線y=3x+7與橢圓相交所得弦的端點為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=$\frac{14（^{2}+4）}{10^{2}+4}$=2，
解得：b²=8．
∴a²=12．
$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．

點評 本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了橢圓方程的求法，涉及直線與圓錐曲線關(guān)系問題，常采用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解，是中檔題．