Question

已知定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=3f（x+2）．當(dāng)x∈[0，2）時(shí)f（x）=-x²+2x．設(shè)f（x）在[2n-2，2n）上的最大值為a_n，且數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則

lim

n→∞

S_n=

 

．（其中n∈N^*）

Answer 1

考點(diǎn)：極限及其運(yùn)算

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由函數(shù)關(guān)系式f（x）=3f（x+2），結(jié)合f（x）在[2n-2，2n）上的最大值為a_n可知數(shù)列{a_n}是以

1

3

為公比的等比數(shù)列，再由當(dāng)x∈[0，2）時(shí)f（x）=-x²+2x求出首項(xiàng)，代入等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則其極限可求．

解答： 解：∵定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=3f（x+2），
∴f（x+2）=

1

3

f（x），
就是函數(shù)自變量每向右移2個(gè)單位，函數(shù)值變?yōu)樵瓉淼?span id="drqjnlz" class="MathJye">

1

3

，
∵f（x）在[2n-2，2n）上的最大值為a_n，且x∈[0，2）時(shí)f（x）=-x²+2x，
∴a₁=f（1）=1，q=

1

3

，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以

1

3

為公比的等比數(shù)列，
則Sn=

1×(1- 1 3n )

1- 1 3

=

3

2

(1-

1

3n

)．
∴

lim

n→∞

S_n=

lim

n→∞

3

2

(1-

1

3n

)=

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答此題的關(guān)鍵在于由函數(shù)關(guān)系式得到數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列極限的求法，是中檔題．