Question

(文)某汽車生產企業(yè)上年度生產一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為13萬元/輛，年銷售量為5000輛.本年度為適應市場需求，計劃提高產品檔次，適當增加投入成本，若每輛車投入成本增加的比例為x(0＜x＜1)，則出廠價相應提高的比例為0.7x，年銷售量也相應增加.已知年利潤＝(每輛車的出廠價－每輛車的投入成本)×年銷售量.

(1)若年銷售量增加的比例為0.4x，為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應在什么范圍內？

(2)年銷售量關于x的函數為y＝3240(－x²＋2x＋)，則當x為何值時，本年度的年利潤最大？最大利潤為多少？

Answer 1

0＜x＜時   當x＝時，本年度的年利潤最大，最大利潤為20000萬元。

解析:

(文)(1)由題意得：上年度的利潤為(13－10)×5000＝15000萬元；本年度每輛車的投入成本為10×(1＋x)；本年度每輛車的出廠價為13×(1＋0.7x)；本年度年銷售量為5000×(1＋0.4x)，因此本年度的利潤為y＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×5000×(1＋0.4x)＝(3－0.9x)×5000×(1＋0.4x)＝－1800x²＋1500x＋15000(0＜x＜1)，由－1800x²＋1500x＋15000>15000，解得0＜x＜，所以當0＜x＜時，本年度的年利潤比上年度有所增加.　　　　　　　　　　　5分

(2)本年度的利潤為f(x)＝(3－0.9x)×3240×(－x²＋2x＋)＝3240×(0.9x³－4.8x²＋4.5x＋5)，則f′(x)＝3240×(2.7x²－9.6x＋4.5)＝972(9x－5)(x－3)　　　　　　　　　　　　8分

由f′(x)＝0，解得x＝或x＝3，當x∈(0，)時，f′(x)>0，f(x)是增函數；當x∈(，1)時，f′(x)<0，f(x)是減函數.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　10分

∴當x＝時，f(x)取極大值f()＝20000萬元，

因為f(x)在(0,1)上只有一個極大值，所以它是最大值，

所以當x＝時，本年度的年利潤最大，最大利潤為20000萬元�！　　　　　�12分