已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A1（-a，0）、A2（a，0），若在雙曲線上存在一點(diǎn)P，使得在△PA1A2中，∠PA1A2=30°，∠PA2A1=120°，則此雙曲線的離心率為（　　）
分析：設(shè)P（m，n），根據(jù)直線的斜率公式算出kA1P•kA2P=
n2
m2-a2
=1，結(jié)合點(diǎn)P在雙曲線上化簡(jiǎn)可得a=b，由此算出c=
2
a，即可得到該雙曲線的離心率．
解答：解：由題意，得A1（-a，0）、A2（a，0），
設(shè)P（m，n），則
kA1P=
n
m+a
=tan30°=
3
3
，kA2P=
n
m-a
=-tan120°=
3

∴kA1P•kA2P=
n2
m2-a2
=1
又∵P（m，n）是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)上的點(diǎn)，
∴
m2
a2
-
n2
b2
=1，解得n2=b2(
m2
a2
-1)=
b2
a2
(m2-a2)
因此
n2
m2-a2
=
b2
a2
(m2-a2)
m2-a2
=1，化簡(jiǎn)得a=b
∴c=
a2+b2
=
2
a，雙曲線的離心率e=
c
a
=
2

故選：C
點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線上一點(diǎn)P對(duì)兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成頂角為120度的等腰三角形，求雙曲線的離心率．著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線的斜率公式等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
7
=1，直線l過其左焦點(diǎn)F1，交雙曲線的左支于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=4，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點(diǎn)，△ABF2的周長為20，則此雙曲線的離心率e=
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，且該雙曲線的離心率為
5
，則該雙曲線的漸近線方程為（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e=2，點(diǎn)M(
5
，
3
)在雙曲線上．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且
OP
•
OQ
=0．問：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否為定值？若是請(qǐng)求出該定值，若不是請(qǐng)說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知直線l：kx-y+1+2k=0（k∈R），則該直線過定點(diǎn)
（-2，1）
（-2，1）
；
（2）已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線方程為y=
4
3
x，則雙曲線的離心率為
5
3
5
3
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）滿足| 
a1
b
2
 |=0，且雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線y2=4
3
x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的方程為
 
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案