簡答題

已知函數(shù)f(x)＝x2－4ax＋a2(a∈R)

(1)

若關(guān)于x的不等式f(x)≥x的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)

若函數(shù)g(x)＝2x3＋3af(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

答案：
解析：

(1)

解：∵f(x)≥x的解集為R

∴x2－(4a＋1)x＋a2≥0對于x∈R恒成立…………2分

∴△＝(4a＋1)2－4a2≤0

即12a2＋8a＋1≤0…………4分

(2a＋1)(6a＋1)≤0

∴―≤a≤―

∴a的取值范圍為[―，―]…………6分

(2)

解：∵g(x)＝2x3＋3ax2－12a2x＋3a2在(－1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增

∴g′(x)＝6x2＋6ax－12a2≥0在(－1，＋∞)內(nèi)恒成立………7分

∵二次函數(shù)g′(x)圖象的對稱軸為x＝－，開口向上

①當(dāng)－≥－1即a≤2時，∵△＝36a2－4×6×(－12a2)＝324a2≥0

∴f(x)在(－1，＋∞)不能單調(diào)遞增…………10分

②當(dāng)－≤－1即a≥2時，要使f(x)在(－1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，則

…………13分

綜上所述，a的取值范圍為…………14分


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